Контрольная работа: Задачи на наибольшее и наименьшее значения функций

Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции

1. Требуется изготовить коническую воронку с образующей l=10см. Каков должен быть радиус основания воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
2. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак емкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала?
3. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала?
4. Проволоку длины l согнули так, что получился круговой сектор максимальной площади. Найдите центральный угол сектора.
5. Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в данный конус. Высота конуса = H, радиус основания – R.
6. Требуется изготовить коническую воронку с образующей l=15 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
7. Из всех прямоугольников с площадью 9 дм2 найдите тот, у которого периметр наименьший.
8. Из всех прямоугольников с диагональю 4 дм найдите тот, у которого площадь наибольшая.
9. Какой из прямоугольников периметром 80 см имеет наибольшую площадь? Вычислите площадь этого прямоугольника.
10. В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса лежит в центре полушара. При каком радиусе основания этот конус будет иметь максимальный объем?
11. В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основания цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар. Чему должна быть равна высота цилиндра, чтобы этот цилиндр имел наибольший объем?
12. Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверхность.
13. Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
14. Картина высоты 1,5 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,2 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т.е. чтобы угол зрения был наибольшим)?
15. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен V, причем стороны основания относились бы как 2:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок)

4. дугой синусоиды  на [0; p] и осью абсцисс.
6. дугой синусоиды  на [] и осью абсцисс.
11. осью Ох и кривой
21.  и осью Ох.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.