Контрольная работа
Основы высшей математики
Оглавление
Введение
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
2 Произведение матриц
3 Транспонированная матрица
4 Задача
Список использованных источников
Введение
Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У.Гамильтона и А.Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К.Вейерштрассом и Ф.Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А.Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.
С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.
Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.
Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
играет роль единицы в матричном исчислении.
Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.
- дельта Кронекера
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k aij.
В = k A
bij = k aij.
Матрица - А = (-1) А называется противоположной матрице А.
2 Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аmn на матрицу Вnp, называется матрица Сmp такая, что
сik = ai1 b1k + ai2 b2k + ... + ain bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А Е = Е А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А Е = Е А = А
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А (В С) = (А В) С;
2. А (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) С = АС + ВС;
4. α (АВ) = (αА) В;
5. А 0 = 0; 0 А = 0;
6. (АВ)Т = ВТАТ;
7. (АВС)Т = СТВТАТ;
8. (А + В)Т = АТ + ВТ.
3 Транспонированная матрица
Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].
Например,
Свойства транспонированных матриц:
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
4 Задача
Список использованных источников
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. - Минск. ТетраСистемс, 2004. - 640 с.
4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. - 517 с.