1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (nm) равно 2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<2/2.
Рассмотрим в l2 множество П точек
x=(x1, x2, , xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
| x1|1, | x2|1/2, ,| xn|1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.
Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 из П сопоставим точку x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из того же множества. При этом r(x,x*)=<1/2n-1 Множество П* точек вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это. Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1 "xП: x=(x1, x2, , xn, ...) сопоставим x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) и x*П. При этом r(x,x*) Тогда: r(x,x**)r(x,x*)+r(x*,x**) Множество П* содержит точки вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)